Door Johan van Benthem (Emeritus universiteitshoogleraar, Universiteit van Amsterdam; Henry Waldgrave Stuart Professor of Philosophy, Stanford; Jin Yuelin Professor, Tsinghua University)

De wetenschap stormt van succes naar succes, de technologie serveert mirakels. De media zijn vol van ‘can do’ nieuws en optimistische toekomstkijkers. Vanwaar toch die eenzijdige aandacht voor het mogelijke?

In 1931 bewees Kurt Gödel zijn Onvolledigheidsstelling, het hoogtepunt van de moderne logica. Exacte wiskundige theorieën kunnen nooit de volledige waarheid over hun domein bewijzen. Gödel’s analyse bevatte vele thema’s en verhaalwendingen die hele onderzoeksgebieden openden.

Maar wat mij het sterkste trof, en treft, is het loutere idee. Het onmogelijke is even belangrijk als het mogelijke voor ons begrip van de wereld. En het onmogelijke kan worden onderzocht met dezelfde methoden als het mogelijke. 

Wiskunde is abstract, dus universeel. Onmogelijkheden heersen overal. Turing’s artikel dat de moderne computer definieerde (ondenkbaar zonder Gödel: iets wat de patriotische speelfilm verzwijgt), heeft als centraal resultaat dat er geen methode bestaat die altijd bepaalt of een programma op een input een antwoord zal produceren. Turing’s bewijs van die onmogelijkheid gaf niettemin scherpe informatie over wat een berekening wel is en wat rekenen kan presteren.

Evenzo begrijpen we na Gödel onvergelijkelijk veel beter wat wiskundige bewijzen zijn, en wat ze kunnen. Het onmogelijke informeert ons over het mogelijke, ze horen bij elkaar. Welbeschouwd is de hele wetenschapsgeschiedenis voortschrijdend inzicht in twee verstrengelde zaken: wat wel, en wat niet kan.

Is dit nu een filosofisch idee, zoals de uitnodiging voor dit stukje luidde? Voor mij is de grens tussen filosofie en wiskunde vloeiend. In een Clausewitziaanse symmetrie: beide zijn een voortzetting van de ander ‘met andere middelen’.

De vervlechting van mogelijkheid en onmogelijkheid bleek een aardschok die mijn denkwereld blijvend veranderde. Ik denk sindsdien dat wij allen gebaat zijn met actief opsporen en erkennen van onmogelijkheden.

Inzien dat ‘can’t do’ net zo informatief is als ‘can do’ in wat wij mogen verwachten in wetenschap, technologie en maatschappij helpt ons vooruit – en het kweekt ook bescheidener mensen.

Verder lezen

Gödel’s klassieke artikel is “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I”, Monatshefte für Mathematik und Physik, 38:1, pp. 173–198 (1931). De onvolledigheidsstellingen, hun bewijs (terecht een symfonie van ideëen genoemd), consequenties, en voortdurende invloed vullen zelfs vandaag gemakkelijk een hele cursus wiskundige logica.

Een klassieke introductie die de magie overbrengt voor een breder publiek is Gödel’s Proof van Ernest Nagel en James Newman (New York University Press, 1958, Nederlandse vertaling als Aula pocket 540, Het Spectrum, 1973).

Een modern overzicht met vele literatuurverwijzingen is ‘Gödel’s Incompleteness Theorems’ van Panu Raatikainen in de Stanford Encyclopedia of Philosophy (2020). 

Turing’s klassieke artikel is ‘On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsprobem’, Proceedings of the London Mathematical Society, s2-42:1, pp. 230–265 (1937).

Net iets eerder was een artikel van Alonzo Church dat met Gödel’s methoden bewees dat er geen rekenmethode bestaat die alle elementaire logische gevolgproblemen oplost: ‘An Unsolvable Problem of Elementary Number Theory’, American Journal of Mathematics, 58, pp. 345–363, (1936).

Inleidingen in Turing’s analyse van rekenmachines vindt men in elk modern leerboek over theoretische informatica. 

Onmogelijkheidsresultaten met opmerkelijke positieve consequenties zijn te vinden in de geschiedenis van de wiskunde, vanaf de irrationaliteit van de wortel van 2 in de Klassieke Oudheid tot transcendentie van pi, bewezen in de 19de eeuw.

Bewezen onmogelijkheden stonden ook aan de wieg van andere wetenschappelijke disciplines, zoals social choice theory. Een pleidooi voor het ‘can’t do’ gezichtspunt als legitiem onderzoeksthema naast de heersende “can do” in de moderne informatica en AI valt te lezen in J. van Benthem, F. Liu & S. Sonja Smets, ‘Logico-Computational Aspects of Rationality’, in M. Knauff & W. Spohn, red’n, Handbook of Rationality, The MIT Press, 2020. 


Meer:

7 Comments

  1. Dit stukje geeft te denken.
    “En het onmogelijke kan worden onderzocht met dezelfde methoden als het mogelijke.”
    Hoe moeten we dit begrijpen? Het onmogelijke bestaat immers niet. Hoe kan je het dan onderzoeken? Je kunt de grenzen van je land bepalen en daarmee baken je gelijk van binnenuit het buitenland af. Zoals Wittgenstein in zijn Tractatus het zegbare van binnenuit vast probeert te leggen en daarmee tevens datgene bepaalt waarover je niet kunt spreken (en ook niet kunt zwijgen, zoals Jan Hollak opmerkte).
    De onderzoekmethode lijkt steeds op hetzelfde neer te komen: zelf-applicatie. Russell, Grelling, Godel, Turing. De mathematische abstractie is een bijzondere vorm van abstractie. Wanneer we die begrijpen begrijpen we misschien ook de fascinatie voor techniek en de grenzen ervan.

  2. Absolute zekerheid bestaat niet wat niet wegneemt dat de toepassing van kennis ons veel heeft opgeleverd. Niemand kent de toekomst maar wel kan op grond van de natuurwetten berekend worden wat niet kan, wat onmogelijk is. (zoals een land op zon en wind energie laten draaien) Wat u niet verteld wordt is minstens zo belangrijk als de geschetste vergezichten. Zie de fabel van de Baltimoore brooker, die beleggingsadviezen gaf aan klanten die alleen juiste eerdere voorspellingen hadden ontvangen. Die klanten beschouwden na enige tijd de brooker als geniaal omdat ze de foute voorspellingen nooit zagen. Helaas, een leek is alles wijs te maken omdat die niet weet wat wordt verzwegen.

  3. Tof. (Eindelijk) een tekst die stemt tot nadenken. “Clausewitziaans”, ik ben het gaan opzoeken! Bij deze een poging tot wederdienst. Het is onmogelijk een hoek in drie gelijke delen te verdelen met passer en liniaal, dat is bewezen. Het onmogelijke onderzoeken, gebeurt dat door een filosoof of door een wiskundige? Of blijft dat toch eerder weggelegd voor de zotten?

      1. Ahí está el detalle.
        Soms lijkt het wel of we een andere taal spreken.
        In de stelling “Het is onmogelijk een hoek in drie gelijke delen te verdelen met passer en liniaal, dat is bewezen.”, ging het uiteraard om een ongemarkeerde liniaal.

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *