Door Iris van der Giessen (Promovendus Universiteit Utrecht)

Groots idee: De onvolledigheidsstellingen van Gödel

In de wiskundige logica is er een groot verschil tussen uitspraken die waar zijn en uitspraken die we daadwerkelijk kunnen bewijzen.

Bekijk maar eens de titel van deze ode. Wat als deze waar is? Dan is hij niet bewijsbaar. En stel nu dat hij niet waar is. Is hij dan bewijsbaar? Dit is een versie van de leugenaarsparadox: probeer het zelf maar met de zin ‘ik lieg’. 

Dit was een vlugge inkijk in een grootse doorbraak van de wiskunde. Het begon rond 1900 met het programma van de invloedrijke wiskundige David Hilbert. Hij streefde naar het axiomatiseren van de wiskunde. Het doel was om een systeem te vinden dat voldoet aan twee eisen; volledigheid en consistentie. 

Een formeel systeem is volledig als het elke ware uitspraak van de wiskunde kan bewijzen. De tweede eis stelt dat geen enkele onware uitspraak een bewijs heeft. Dit betekent dat je systeem geen uitspraken kan bevatten die met elkaar in strijd zijn. Bijvoorbeeld, je kunt geen bewijs geven dat je tegelijkertijd liegt en de waarheid spreekt.

Hilberts zoektocht werd abrupt ondermijnd door de publicatie van de beroemde onvolledigheidstellingen van Gödel in 1931. Gödels eerste onvolledigheidsstelling gaat over axiomatische systemen die krachtig genoeg zijn om simpele rekenkunde te doen, zoals 1+1=2. Gödel laat zien dat zulke systemen óf onvolledig zijn óf inconsistent. Hij gebruikt hierbij de zin van onze titel: deze zin is niet bewijsbaar.

De consequenties van de tweede onvolledigheidsstelling zijn misschien nog wel groter. Het vertelt ons dat we nooit kunnen bewijzen dat de wiskunde consistent is.  Het is dus niet mogelijk om aan te tonen dat er geen tegenstrijdige uitspraken zijn. Dit sloeg in als een bom onder filosofen en wiskundigen. 

Verder lezen

Een boek dat lekker wegleest en waarin gespeeld wordt met wiskundige paradoxen: Hofstadter, D.R., Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, Penguin, 1979, ISBN 9780140289206


Meer:

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *