Door Vincent Coumans (Promovendus Radboud Universiteit)
“Man muß jederzeit an Stelle von ‘Punkte, Geraden, Ebenen’, ‘Tische, Stühle, Bierseidel’ sagen können.”
Vrij vertaald: In plaats van “punten, lijnen, vlakken”, moet men ook “tafels, stoelen, bierpullen” kunnen zeggen.
Tijdens een discussie over meetkunde zou David Hilbert, een van de bekendste wiskundigen aller tijden, bovenstaande zin hebben uitgesproken. In het bijzonder gaat deze quote over hoe we over meetkundige objecten zouden moeten spreken. Maar wat hebben bierpullen daar dan mee te maken?
Bij meetkunde denkt men vaak in eerste instantie aan middelbare-school-meetkunde. Deze is gebaseerd op het beroemde boek van Euclides (300 v.C.), de Elementen. Euclides presenteert hierin enkele definities en basisbeginselen, de zogeheten axioma’s, en bouwt vervolgens de meetkunde stapsgewijs op. Hij definieert een ‘punt’ als iets dat geen deel heeft en hij definieert een ‘lijn’ als iets dat lengte, maar geen breedte heeft. Euclides probeert hier de essentie van lijnen en punten te beschrijven als ideale objecten in een Platonische wereld. Daarnaast zijn axioma’s niet zomaar uitspraken, maar onmiddellijke inzichten en de stellingen die hieruit volgen, zijn volgens die visie ‘ware’ uitspraken.
Een fundamenteel andere aanpak wordt gehanteerd door Hilbert. In zijn Grundlagen der Geometrie uit 1899 benadert hij meetkunde op een veel abstractere wijze. Hij presenteert in zijn boek ook axioma’s, maar geen definities van punten, lijnen, vlakken; hij zegt enkel dat we het kunnen hebben over punten, lijnen en vlakken. Wat die objecten dan precies zijn, dat laat hij in het midden. Zodoende gaat zijn zogeheten axiomatisering niet over dé meetkunde, maar is die veel algemener: elke mogelijke structuur waarvoor de axioma’s opgaan, is ‘een’ meetkunde.
De axioma’s die Hilbert geeft, zijn van de vorm: voor elke twee punten A en B is er precies één lijn d zodat A en B op lijn d liggen. Hij zegt dus niets over wat punten, lijnen en vlakken zijn, maar enkel hoe ze zich tot elkaar verhouden. Dit verklaart bovenstaande quote: hoewel we de objecten punten, lijnen en vlakken noemen, hadden we ze ook tafels, stoelen en bierpullen kunnen noemen. Kortom: het gaat om hoe objecten zich tot elkaar verhouden, niet om wat ze ‘echt’ zijn.
Verder lezen
Naast de bovengenoemde werken zijn hoofdstukken 3 en 4 uit Mathematical Thought from Ancient to Modern Times van Morris Kline ook erg interessant, in het bijzonder het stuk over de Platonische school (de betreffende hoofdstukken staan in Volume 1).
