Door Wouter Cohen (University of Manchester)

Je weet ongetwijfeld wat een heuvel is. Je herkent ’m zonder moeite in een verder vlak landschap. Je kunt waarschijnlijk ook wel een soort definitie geven. Toch zet de paradox van de heuvel (in het Engels meestal de Sorites paradox) jouw kennis van heuvels op losse schroeven.

Stel je voor: je staat in een helemaal vlak landschap en hebt twee knoppen voor je. Op de ene knop staat ‘heuvel’, op de andere ‘geen heuvel’. Elke minuut wordt de grond een paar honderd meter van je vandaan met één millimeter verhoogd en moet je kiezen: wel of geen heuvel. En uiteraard wordt het verhogen zo gedaan, dat het er natuurlijk en geleidelijk uitziet.

Paradoxaal

In de eerste minuut is het makkelijk kiezen: een verhoging van één millimeter is geen heuvel. Na een paar dagen wordt het lastiger. De verhoging begint nu toch wel echt serieus te worden. Je besluit een algemeen principe te bedenken, zodat je aan de hand daarvan kunt beslissen.

Neem dit logische idee, het zogeheten tolerantieprincipe: als een verhoging van x millimeter geen heuvel is, dan is een verhoging van x+1 millimeter ook nog geen heuvel. “Hoe kan één millimeter nou het verschil maken?” is de gedachte.

Het lijkt er op dat we eigenlijk niet goed weten wat het betekent om kaal te zijn

Als je dit principe accepteert, dan zul je nooit besluiten op de knop met ‘heuvel’ te drukken. Elke keer dat er een minuut voorbijgaat, wordt een niet-heuvel met één millimeter verhoogd: volgens het principe wordt de stap naar een heuvel nooit gemaakt. Maar dat is duidelijk paradoxaal. Op een gegeven moment sta je wel degelijk naar een heuvel te kijken, bijvoorbeeld als je verhoging tussen de vijf en tien meter is.

Als je het tolerantieprincipe niet accepteert, dan moet er een definitief kantelpunt zijn: een moment waarop de grond met maar één millimeter verhoogd wordt en je opeens een heuvel hebt waar net ervoor nog geen heuvel was. Dat klinkt ook paradoxaal: wanneer zou dat moment nou kunnen zijn?

Een goede bos haar

Er bestaan verschillende varianten van deze paradox. Als iemand kaal is, dan gaat één extra haar het verschil niet maken. Een persoon kan niet van kaal naar niet-kaal gaan door één haar toe te voegen. Maar als je stug doorredeneert met dat principe, van geen haar naar één haar naar twee haren naar drie, naar vier, enzovoorts, dan kom je uiteindelijk tot de conclusie dat iemand met een goede bos ook kaal is. Het is niet moeilijk om andere voorbeelden te bedenken.

Het lijkt er dus op dat we eigenlijk helemaal niet goed weten wat heuvels zijn, of wat het betekent om kaal te zijn. Zulke concepten zijn inherent vaag.

Is dit het soort geneuzel waar jullie filosofen betaald voor krijgen?

Misschien ligt dit antwoord voor de hand: begrippen als heuvel en kaal hebben nu eenmaal grijze gebieden. Het tolerantieprincipe klopt: je kunt niet van een niet-heuvel naar een heuvel gaan door één millimeter te verhogen. Maar je kunt wel van een niet-heuvel naar een onduidelijk geval gaan, waar de verhoging nog niet een heuvel is, maar ook niet meer duidelijk een niet-heuvel is. Op dat moment betreed je het grijze gebied, waar het begrip vaag is.

Vage vaagheid

Maar het verhaal wordt ingewikkelder. Er bestaan ook geen duidelijke kantelpunten voor wanneer je het grijze gebied betreedt. Stel je voor dat je drie knoppen hebt: (i) heuvel, (ii) grijs gebied, (iii) geen heuvel. Goed, daar gaan we weer. Één millimeter: overduidelijk geen hoop, dus we kiezen knop (iii). Twee millimeter, same story. De vraag is: wanneer kiezen we optie (ii)? Die ene extra millimeter toch niet het verschil maken tussen overduidelijk geen heuvel en het grijze gebied?

Met andere woorden, de vaagheid is zelf ook vaag. Er is geen duidelijk punt waarop we van niet-heuvel naar heuvel gaan, of van niet-kaal naar kaal. Maar er is ook geen duidelijk punt waarop we van niet-heuvel of niet-kaal naar het grijze gebied gaan.

“Grappige paradox hoor”, hoor ik je denken. “Maar als we er alleen maar van leren dat concepten als kaal en heuvel geen precieze definities hebben, dan heb ik precies niets geleerd. Iedereen weet dat toch? Is dit het soort geneuzel waar jullie filosofen betaald voor krijgen?”

Ik snap de reactie heel goed, filosofische onzin vind ik ook heel frustrerend. Maar de paradox van de heuvel verdient het wel om bestudeerd te worden. Tot nu toe heb ik alleen de traditionele voorbeelden besproken. Het volgende scenario overtuigt je hopelijk wel dat de paradox interessant is.

Dagenlange opsluiting

Gianni en Anyssa spelen verstoppertje op het schoolplein. Gianni verstopt zich in een schuurtje. Als Anyssa ziet dat Gianni in de schuur zit, besluit ze hem op te sluiten. Gianni wordt pas na drie dagen gevonden en Anyssa moet zich verantwoorden. Hier is haar redenering.

Eén minuut zwangerschap kan het verschil toch niet maken?

“Jullie zijn het toch met mij eens dat Gianni één seconde opsluiten niet erg is? Gewoon voor de grap, hij vond dat zelf ook niet erg. Maar als het niet verkeerd is om Gianni 1 seconde op te sluiten, dan zijn twee seconden toch ook niet erg? Één seconde kan toch niet het verschil maken? Dus als het niet verkeerd is om Gianni voor x seconden op te sluiten, dan is het ook niet verkeerd om hem voor x+1 seconden op te sluiten. Dus ik heb niets verkeerd gedaan.”

Dat heuvels en kale koppen je niet boeien: prima, snap ik. Maar hoe leg jij aan Anyssa uit dat ze wel iets verkeerds heeft gedaan? Welke stap in haar redenering wijs je aan als de boosdoener, de stap waar ze de mist in ging in haar verantwoording?

Abortus

Er zijn eindeloos veel soortgelijke scenario’s waarin je iets problematisch kunt verantwoorden via de paradox van de heuvel. Denk bijvoorbeeld aan de discussie rondom abortus: aan beide kanten, pro en anti, kun je hellende vlakken maken.

De voorstander: “Als je een zwangerschap van 1 minuut mag afbreken, dan mag je toch ook een zwangerschap van 2 minuten afbreken? … Dus je mag altijd een zwangerschap afbreken.”

De tegenstander: “Als je een zwangerschap van 388.800 minuten (ongeveer 9 maanden) niet mag afbreken, dan mag je toch ook niet een zwangerschap van 388.799 minuten afbreken? … Dus je mag nooit een zwangerschap afbreken.”

Voor- en tegenstander in koor: “één minuut kan het verschil toch niet maken?”

Wouter Cohen is promovendus aan de University of Cambridge.

Portret door Laura Y.